Mikołaj Krasnodębski

 

 

 

Все думают[1], что философия ограничевается только

математикой, хотя все прекрасно понимают,

что её нообходимо изучать для чего то другого.

Arystoteles, Metafizyka, 992 a 32

 

 

 

 

 ОСНОВЫ МЕТАФИЗИКИ В МАТЕМАТИЧЕСКИХ ВЗГЛЯДАХ ПЛАТОНА

 

 

„ДИДАКТИКА МАТЕМАТИКИ: проблеми і дослідження (Didactics Of Mathematics: Problems and Investigations)” 35/2011, s. 21-26.

 

1.      Введение: обоснованность важности темы

По мнению итальянского философа из тыбинской филосовской школы, Джованни Реале, Платон не трансформировал метафизику заменив её математикой, напротив: он метафизически обосновал матаматику указав её метафизическую обусловленность и последовательность[2]. Согласно его позиции, математика вписана в платоновское описание реальности, будучи посредником  между миром идей и миром ощущений. Таким образом она вписана в платоновскую концепцию «второго хождения под парусом», которую определяют как «метоэмпирическое вывождение (результатирование)»[3].

Проблематика платоновской философии математики стала актуальной и пладотворной не только в Польше но также и заграницей[4]. Поэтому выше упомянутая проблематика не является целью данного текста, но представлением её онтологических, эпистемологических и диалектических оснований позволивших Платону формирование его теории математики. Ибо Платон позиционирует математическое бытие между бытием идеальным и ощутимым. Математическое бытие, с онтологической точки зрения, является «бытием-посредником» между тем, что идеально и тем, что ощутимо. Он также затрагивает проблему идеальных чисел, фундаментальных в его видении идей. Уже Арестотель в своей Метафизике обращает внимание на данный аспект:

 

« Платон же утверждал, что паралельно с ощутимым и идеальным мирами существуют предметы математики, занимающие посредственную позицию, отличаясь от ощутимых вещей, тем, что они вечны и неизменны, а от идей своим разнообразием и подобием, в то время когда каждая идея всегда единственна и не повторима»[5].

 

Исходя из «второго хождения под парусом» Платона, мне бы хотелось выразить, что его философия математики, не является обычным воспоминанием взглядов пресократовских и вавилонских мыслителей или египетских математиков, хотя безусловно она базировала на их взглядах, но в его онтологии преобрела новое трансцендентное измерение. К сожалению данное измерение было заброшенно и забыто материалистическими направлениями нового времени. Между тем новейшие иследования в космологии (философии природы) похоже подтверждают интуицию Платона. Отличая интуицию от философской системы, необходимо признать Платону безупречность использования математики в описании реальности в аспекте явлений, там где она многочисленна. Платон, таким образом ввёл относительное понимание реальности, которое станет доминирующим не только в эпоху философии возрождения и нового времени, но и в общественных и натуральных науках современности.

 

2. Трансцендентный смысл онтологии Платона

Если Платоновскую математику не признавать самостоятельной дисциплиной знаний, но видеть в ней интегральный «элемент» его системы, она представляется путём достижения того, что идеально, совершенно и божественно. То что божественно, для основателя Академии, озночает внеемпирическую реальность, трансцендентную субстанцию. Отсюда и отождествление того, что божественно с необособленной идеей добра представляющего собой пик того, что разумно, что является Демиургом[6], добро которого является его единственным атребутом[7].

Необходимо ещё дополнить, что математика во времена Платона была уже научной дисциплиной, основанной Пифагором. Она рационально и верифицированно  даказывала свои иследовательские гипотезы, будучи не просто практическим навыком используемым в широко-представленной повседневной жизни. Ученик Сократа способствует её распространению и популяризации. Она не только является основой для адептов философии (вспомним, ведь лозунг над воротами Академии гласил, что сюда не может вступить человек, не знающий даннго предмета знаний), но доступна даже рабам, которых считали самодвижущимися говорящими орудиями. В диалоге МЕНОН Сократ общается с необразованным рабом на тему геометрии и проводя свой «маевтический эксперимент» даказывает – опровергая все расистские взгляды древних греков, что у него есть душа и даказывает также теорию анамнезиса, и преоритет того, что духовно над тем, что материально. Сократовская маевтика, будучи искуством задавания наводящих вопросов и раскрытия реальности, является мостом к платоновской онтологии, эпистемологии и пайдеи. Тут прорисовывается другой аспект проблемы: созерцание (в интерпритации Пифагора) и в последствии обращение к миру идей, это общее и универсальное задание. Сократ задаёт свои вопросы исходя из того, что очевидно постепенно приводя к уверенным и рациональным знаниям. Данный метод называет он духовным акушерством, а себя представляет в роле акушера помогающего истине узреть дневной свет[8]. Для того, чтобы проилюстрировать значение данного метода мне бы хотелось представить финальный отрывок разговора Сократа с рабом. Это просто паразительный пример мастерства сократовской дидактики, которым был бы рад похвастаться любой педагог:

Сократ. Смотри же, как он выпутается из этого затруднения, ища ответ вместе со мной, причем я буду только задавать вопросы и ничему не стану учить его. Будь начеку и следи, не поймаешь ли меня на том что я его учу и растолковываю ему что-нибудь, вместо того чтобы спрашивать его мнение.-- А ты скажи мне: не это ли у нас четырехфутовый квадрат? Понимаешь?

Раб. Это.

Сократ. А другой, равный ему, квадрат мы можем к нему присоединить?

Раб. Конечно.

Сократ. А еще третий, равный каждому из них?

Раб. Конечно.

Сократ. А вот этот угол мы можем заполнить, добавив точно такой же квадрат?

Раб. Ну а как же?

Сократ. И тогда получатся у нас четыре равные фигуры?

Раб. Получатся.

Сократ. Дальше. Во сколько раз всё вместе будет больше первого квадрата?

Раб. В четыре.

Сократ. А нам нужно было получить квадрат в два раза больший, помнишь?

Раб. Помню.

Сократ. Вот эта линия, проведенная из угла в угол, разве она не делит каждый квадрат пополам?

Раб. Делит.

Сократ. Так разве не получатся у нас четыре равные между собой стороны, образующие вот этот [новый] квадрат?

Раб. Верно.

Сократ. А теперь посмотри, какой величины он будет.

Раб. Не знаю.

Сократ. Но разве каждый из четырех [малых] квадратов не разделен такой линией пополам? Так или нет?

Раб. Разделен.

Сократ. Сколько же таких [треугольных] половинок будет в этом [новом] квадрате?

Раб. Четыре.

Сократ. А в этом [маленьком]?

Раб. Две.

Сократ, А во сколько раз четыре больше двух?

Раб. Вдвое.

Сократ. Во сколько же футов у нас получился квадрат?

Раб. В восемь футов.

Сократ. А из каких сторон?

Раб. Вот из этих.

Сократ. Ведь это -- линии, проведенные в [малых] квадратах из угла в угол?

Раб. Ну да.

Сократ. Люди ученые называют такую линию диагональю. Так что если ей имя -диагональ, то ты, Менонов раб, утверждаешь, что эти диагонали образуют наш удвоенный квадрат.

Раб. Так оно и есть, Сократ[9].

 

3.      «Второе хождение под парусом» - как путешествие к миру идей через «числа»

После смерти Сократа Платон покинул Афины. После 399 года д.н.э. долгое время гостил у Эвклида Мегарейского, после чего он отправился в Кирену и Италию. В Кирене он слушал лекции математика Теодора, в Италии же, изучал математику у Пифагорейцев – Филолоса и Эвритоса. Потм, согласно Диогену Лаэртиоскому, он отправился в Египет[10],  однако об этом основатель Академии в своём VII Письме не вспоминает[11]. Диоген считает, что Поатон обучался у египедских жрецов. Следующее его путешествие, относительно которого не может быть никаких сомнений, привело его в Сицилию. Целью же данного путешествия было знакомство с Пифогорейской общиной[12]. Во время данного похода он был приглашён во дворец тирана Сиракуз Дионисия, что и в последствии и закончило его скитания (Провозглашая идеи из Горгия, Платон попал в немилость тирана, за что и был продан в рабство в Эгин. Из рабства же выкупил его Анникерий Киринейский). Позже, весь собранный опыт и знания он использует в своей Академии, которую основувает после возвращения (387г. д.н.э.) Мысль об основании Академии у него скорее зарадилась под влиянием контактов с Пифогорейцами, ведь Пифагорейский Союз был первым научным обществом  основанным ещё в 530 году д.н.э. Позже Платон ещё двукратно будет посещать Сиракузы и не исключено, что он постоянно контактировал с пифагорейцами. Пифагорейский союз не был обычной философской школой того времени[13]. Он не являлся обычным научно-иследовательским центром, но был религиозно-этическим и политическим союзом (своеобразной сектой). Ведь именно это и было причиной преследований Пифагорейцев в 450-410 годах.

Необходимо дополнить, что уже до Пифагора древние Египтяне и Вавилоняне освоили умение вычисления прямого угла (прямоугольник со сторонами 3,4,5 - прямоугольный), но это он и его ученики придали цифрам практически сакральный смысл. Священное число, это число „10” (tetraktys), тоесть сумма чисел: 1+2+3+4[14]. Пифогорейская арефметика повлияла не только на развитие геометрии, но и имела своё приминение в музыке (интервалы: октава, квинта, кварта) и астрономии (теория гармонии сфер) Также как и пресакратовцы в своём поиске arche (архе) говорили о воде (Фалес), воздухе (Анаксемен) огне (Гераклит), четырёх стихиях (Эмпедокл)  безконечности (Анаксемандр), так и Пифагорейци рассуждали о числе, считая его принципом мироздания и реальности. Отсюда утверждение, что число это вещь[15]. Они видили в числе причину всех материальных вещей, их «сырьё»[16]. Считается, что именно под их влиянием и влиянием учения Платона, Аристотель повторил, что числа  могут быть элементами вещей, их причиной и даже моделью[17]. 

Также и Фалес, задолго до Пифагора произвёл свой взнос в геометрию. Но это именно Пифагор даёт начало математике как науке. Так как использует число в абстрактном понимании как принцип реальности. В этом и заключается пересичение (в начале) философии и математики. Этот взгляд приломляется лишь тогда, когда Пифагор обращает внимание на то, что не всё можно объяснить числом (таким образом, число не может быть сырьём ). Числом нельзя вырозить диагональ квадрата с одной стороной. Сегодня известно, что она равна квадратному корню из двух, но в то время о иррациональных числах не знали ровным счётом ничего. Математические конструкции (Пифагор построил аксиоматику арифметики) в виде мысленных произведений (Творений) идеально совподали с платоновской теорией идеального мира. Именно понимание числа, как образного принципа, привело Платона к теории Идей[18].  

Как утверждают основатели тыбинской философской школы (H. Krämer, Th. Szlezák, K. Gaiser, G. Reale), платоновское «второе хождение под парусом», это метафора ведущая к открытию истинной реальности[19]. „Первое хождение под парусом“, это исследования досократовской философии, которые в основном ограничелись физической реальностью позноваемой чувственно. По мнению Платона, познание реальности на основе интеллектуального созерцания и размышления, приводит  к тому, что трансцендентно по отношению к чувством и ко всему физическому.Платон разсуждает о метафизическом представлении реальности «обращённом к миру идей». Отсюда и дуализм реальности. Можно предположить, что именно этот дуализм дал основание поздним утверждениям представляющим разногласия между душой и телом человека, и придающим телу самостоятельность сепаративного существования. Мир представленный чувственно, это мир физический, но реальность определённая интеллектуально, является предметом платоновской метафизики. Физический мир символизирует алегория пещеры. Нефизический мир,  это мир преставленный с внешней стороны данной пещеры, он вечен и неизменен, дающий идеальное познание вещей. «Подлунный» мир не совершенен и являеться источником иллюзий и позновательных предположений.

В VII книге Государства описан миф–метафора пещеры, которая кратко представляет самые важные тезисы Платона относящиеся к его пониманию реальности, познания и деятельноси человека[20]. Итак она описывает «метод» избавления от илюзий и ошибок являющихся результатом вооплощения мнений и воображений. Математическое бытие служит во всём этом помощью.В пещере прикованы люди не способные выбраться во внешний мир. Цепи ограничевают их поле зрения лишь до того, что можно увидеть в пещере. Во внешнем мире находятся другие люди и другие вещи. Освящёные светом Солнца они проникают в пещеру в образе теней. Присудствующие в пещере наблюдают только тени и слышат искажённые голоса и звуки доносящиеся из внешней среды. Они воспринимают всё это и думают, что всё происходящее в пещере и есть та единственная и истинная реальность. В то время когда всё это лишь изувеченный образ того, что происходит снаружи. Тот кому удасться,освободившись от цепей убежать из пещеры со временем – когда его глаза привыкают к дневному свету – понимает то на сколько он ошибался. Теперь он спешит назад в пещеру, чтобы рассказать всем о своём открытии, но в пещере он уже плохо видит, потому что его глаза отвыкли от мрака. Более того – заключённые не понимают то о чём он говорит.

Платон считает, что цель философии в том и заключается, чтобы добраться к совершенному миру, к миру в котором господствуют идеи, первоосновы и принципы: Единство и неопределённая Диада (либо единый принцип определённости структур)[21]. Идеи это чистые формы вещей, которые: интелегибильны, безтелесны, совершённые (благодаря своей завершённости), неизменны, самосуществующие и единные. Как заметил С. Свежавский:

 

„Życie filozoficzne jest upodobnieniem się do Boga (…), przez które filozof staje się w pełni dobry i cnotliwy, czyli szczęśliwy. Do tego poziomu upodobnienia, dochodzi się po stopniach poznania, które odpowiadają stopniom bytu, a te oparte są na stopniowaniu jasności”[22].

(«Философская жизнь это постепенное уподобление Богу (...), в результате которого философ становится полностью добрым, благородным и счастливым. К данному уровню подобия приходят преодолевая степени познания, отвечающие степеням бытия, которые, в свою очередь, базируются на степенях ясности»)

 

Я уже немного обсудил степени бытия в платоновской иерархии реальности: от переменного чувственного мира (тени и ощутимые вещи) до постоянного интелектуального мира, в котором принципом реальности являются Идеи и Первопричины[23]. Они тесно связаны со степенями познания, которые необходимо преодолеть человеку «убежавшему из пещеры»: мнения (doksa) и убеждения (pistis) связанны с чувственным миром впечатлений и ноэтическим познанием (noesis), которое по средству математики и диалектики (философии) приводит к совершенству познания реальности, а в последствии и к платоновскому богу. Следуя за Парменидом, Платон отождествляет познание и бытие, а в последствии ему требуется мост для связи между тем что физическое (подверженное уничтожению) и тем что идеально (то, что духовно и что невозможно унечтожить). Посредсвенное познание (dianoia) происходит по средсву математического бытия.

 

4.      Идеальные числа и математическое бытие как способ воздействия Демиурга и путь приближающий к нему.

По мнению Платона, существует два вида чисел:

—         Идеальные числа, являющиеся посредниками между Единством, Диадой (принципами) [24]  и Идеями;

—         Математические числа, являющиеся посредниками между идеями и физическим бытием. 

Идеальные числа не являются математическими но метафизическими. Они «рождены прежде всего» так-как «представляют собой первобытный  вид парадигмы выроженной в синтезе необычной структуры единственности-в-численности, которая характеризует  все степени реальности и все степени бытия»[25]. Идеальные числа проявляют сущность числа, а не его величину в смысле математической ценности. Таким образом нпр. «2» имеет значение «Двойственности». Поэтому идеальные числа не являются предметом арифметических действий, ведь невозможно слагать или разлагать сущность «Двойственности» или «Троякости». Идеальные и математические числа не являються одним и тем же, и не одна идея не выражаеться в определённом числе. Платон имеет радикально - противостоящую точку зрения нежели пифагорейцы, неопифагорейцы и даже каббалисты. Однако в его онтологии отношений числа соответствуют отношениям (relatio). Каждая идея занимает точно определённое место в интеллегибельном мире проявляясь в определённом отношении к другим идеям  и к физической реальности. Эти отношения выражаються по средству чисел[26]. Отсюда стремление к чистым геометрическим формам (правильный тетраэдр, идеальные шестигранники, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр) [27].

Скорее всего Платон, на основании своей теоритической онтологии желал обосновать, уже присутствующую в греческой культуре необходимость стремления к идеальному отношению пропорций имеющих своё место в искустве, архитектуре и музыке[28]. Передать это, можно было при помощи идеальных чисел. Эхо этой идеи ещё долго будет присутствовать в элленской и римской культурах, а в особенности в эпоху ренесанса очарованным Платоном[29]. Поэтому сложно не признать тыбинской интерпритации, о которой пишет Реале:

 

„Spróbujmy teraz przenieść to wszystko na poziom osiągnięty przez platońskie «drugie żeglowanie» a dostrzeżemy na poziomie metafizycznym doskonały odpowiednik tego, co w swoich dziełach wyrażali greccy artyści. Idee, które wyróżniają duchowe formy i istoty rzeczy, nie są ostateczną racją tłumaczącą rzeczy, ale zakładają coś wcześniejszego, czym są właśnie liczby i relacje liczbowe, a następnie najwyższe zasady, z których te liczby i relacje liczbowe są wytworzone”[30].

 

«Попробуем теперь перенести это всё на уровень достигнутый в платоновском «втором хождении под парусом» и пронаблюдаем, в метафизической плоскости, совершенное соответствие того, что в своих трудах выражали греческие художники. Идеи различают духовные формы и сущность вещей, они не являются последней инстанцией объясняющей вещи, но предполагают кое-что первичное, чем собственно и являються числа и числовые отношения, а в последствии найвысшие принципы от которых и происходят данные числа и числовые отношения»

 

Между физическим миром и миром идей находиться математическое бытие которое в платоновской иерархии реальности играет роль посредника[31]. Математическое бытие множественно в своём роде, ему принадлежат черты идей и черты соответствующие ощутимым вещам. Это и сведетельствует о том, что оно и есть «посредник». Оно служит Демиургу источником подобия переносимого от идеи-модели к вещи-произведению[32]. Также как и необходимость выбраться из пещеры оставив свои ошибочные убеждения и илюзии, так и математика исполняет функцию связи (моста) делающей возможным созерцание идей, ибо числа и колличество, которые использует арефметика и геометрия не ощутимы, но интелигибельны. Они также и не являються идеальными числами, потому что их много в своём роде, хотя они и неизменны, и вечны.

 

„Właśnie dlatego, że byty matematyczne stoją dokładnie w środku struktury bytu i przez to przejrzyście łączą w sobie przeciwstawne właściwości tego, co jest podporządkowane i tego, co jest nadrzędne, w kręgu przedmiotów matematycznych można tym samym dostrzec model całej rzeczywistości”[33].

 

«Именно поэтому, что математическое бытие стоит строго в середине структуры бытия и благодаря этому соеденяет в себе противостоящие свойства того, что подченено и того, что главенствует, в кругу математических предметов,  можно тем самым наблюдать модель всей реальности».

 

Эта Модель аналогична, так-как математическая и метафизическая абстракция не тождественны, ибо математика не тождественна с метафизикой. Математические числа и величины используемые Демиургом балансируют между миром идей и миром теней наводя на трансцендентное понимание греческого мира, который по своей натуре просто божественен. В «Темее» Платон убеждает, что:

 

„(…) tylko sam Bóg wie dobrze, jak mieszać w jedną całość różne elementy i potem je rozłączać”[34].

«(...)только сам Бог знает, как смешивать в единое целое все элементы, а потом разеделять их».

 

Эта превосходная платоновская интуиция связанная с тематикой о модельном и продуктивном принципах в теодицее, имеет в настоящее время свои отголоски в дискуссиях на тему Биоэтики. Особого внимания заслуживает речь, которую в данной дискуссии представил J. Wójcik (И. Вуйчик)[35].

 

5.      Заключение

Кажется, что «Второе хождени под парусом» Платона и его визия математики дали импульс немного другому определению, которое по вине Петра Рамуса (Pierre de la Ramee, 1515-1572) мы унаследовали сегодня. Рамус был профессором философии в Париже и когда ему запретили критику Аристотеля, он занялся математикой. По истории философии он известен как основатель «рамистической группы». И так собралась группа протестантских философов во главе с Рамусом и задумали основание философии, в которой не было бы места рассуждениям на тему о Боге. Они предумали решение: «Вместо того чтобы говорить о Боге мы будем говорить о понятии Бога»[36]. Позже оставалось лишь внушить людям, что вещь, понятие вещи, смысл вещи – всё это одно и то-же. Этому сопутствовало отождествление философии с математикой. Не трудно догодаться, что всё это было определённым реверсом философии и понятий математики, в период господствующий до Платона. Можно не соглашаться с платоновским представлением реальности, как это выразил Арестотель. Однако Платоновская система  внесла неизмеримый вклад в понимение математики. Рамистическая программа являеться предложением срывающим идею объяснения реальности и направления математики. Данная философия базирует на продуктивности определённой предназначением и целью человека, игнорируя иследования реальности.  Жатва всех этих ошибок ведётся до сегоднешнего дня. Результатом развития философии и математики, представленное Рамусом, стало утверждение в пункте выхода понятия как продукта, вместо того, чтобы говорить о том, что первично и совершенно в реальности.  Современное знание о переменности математики и разнообразия её разделов говорит о том, что математика не может быть путём к определению исходных пунктов в исследовании реальности. Потому что в математике основой являються сконструированные нашим мышлением  понятия-причины других понятий, подобно как аксиомы для теорий. В математике не преследуется истина но определённая человеком практичность и удобство. Философия же преследует истину, чтобы расшифровать необходимое человеку добро Все попытки отождествления философии и математики обречены фальшью.

 

 

Перевод с польского языка: Магистер Александр Шторм